Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTiGRATION DES EQUATIONS DIFFEBRENTIELLES. 34I
CHAPITRE XXII.
ILIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES.
242. Si une equation a trois variables x, y, z renferme
un nombre quelconque m de fonctions arbitraires de x
seulement, il suffira de la difflrentier m fois par rapport
a y, en considerant x comme constant; on aura ainsi m -+- I
equations dans lesquelles entreront les m fonctions a eliminer, sans qu'il se soit introduit aucune quantite qui en
depende: on pourra done eliminer toutes ces fonctions,
ec l'on aura une equation aux differentielles partielles du
7nime ordre.
243. Mais, si les fonctions arbitraires renferment x, y
et z, il ne suffira plus de diflerentier par rapport a une
seule variable; et, pour que l'elimination puisse se faire, il
faut de plus que l'on n'ait que des fonctions arbitraires de
fonctions determinees de x, y' z.
Supposons, par exemple, l'equation
(I) F[x, y, z, /()] = o,
p etant une fonction connue de x, y, z, elf designant une
fonction arbitraire.
En differentiant l'equation par rapport h x et y succesdz dz
sivement, on obtient, en posant - == P' - q=
dF dF cdF df / d? d? \
dx dz P df d;\d. dz
dF dF dF df I/,d d \
-d + + df \d + d =
dy dz d rf d~ \dy dz f