Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

satisfait aux equations (I) et (2), et donne t-= o pour
t = o. I1 suffit done de trouver une nouvelle valeur de y
qui satisfasse aux equations (i), (3) et se reduise a zero
pour t = o; en l'ajoutant a celle que donne l'equation (4),
on aura la solution cherchee. Or, si l'on integre par rapport a t, entre les limites zero et t, une valeur de y satisdy
faisant a l'equation (i), et telle que d = o pour t =o, le
resultat y satisfera encore. Si done on integre l'expression (4) par rapport a t, en remplacant F par f, on aura
une solution de l'equation (i) qui, differentiee par rapport a t, deviendra f(x) pour t = o, et satisfera, par consequent, a la condition (3). De plus, cette valeur dey deviendra nulle pour t = o, puisque l'integrale est prise a
partir de t= o; done, en l'ajoutant a celle que donne
l'equation (4), on aura la solution de la question proposee;
on obtient ainsi
i 00
Y y -- _ rF(a)cosn2tcosn( -- a)dndac
(5) ifl00
I 00 0,O sin n2 t
-- f(I) n2- cosn(x-Ca)dndca.
I -ooJc ni
La premiere partie de cette solution peut etre mise sous
une forme plus simple en effectuant l'integration par rapport a n.
En effet, nous avons fait connaltre la formule
j cosz cos2zdz = /7(cos62 + sing2);
J —00 V- 2
posant z = n /t) = _ —, on conclura de l'equation
2 vt