Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTTGRATION DES tQUATIONS DIFFIRENTIELLES. 329
A, m, a etant des constantes arbitraires. On aura une solution plus generale, en supposant A = c (a) dmda, et
integrant par rapport a O et m entre -oo et - oo, op(a)
designant une fonction arbitraire. On aura ainsi
y f p(a)cosmt cos cosm(x - o)dmdl.
00/ —0 t/-CO
Cette expression se reduit a 27r (x) pour t = o. Done, si
l'on prend (ac) --- - on trouvera F(x) pour t = o; d'ou
l'on voit que l'expression
(4) y =-~a ( F(c.)cosamtcosm(x- o) dmdcx
satisfait aux equations (i) et (z); mais elle donne y= o
pour t = o, et, par consequent, ne satisfait pas a la condition (3). II reste done a trouver une valeur de y qui satisfasse aux equations (I), (3), et devienne nulle pour t = o;
en l'ajoutant a celle que donne l'equation (3), on aura une
valeur dey qui satisfera a toutes les conditions.
On remarquera d'abord que, si une fonctiony satisfait a
equation (i), les fonctions -,... y satisferont
fon tions dt 1dt2
egalement, ainsi que y dt, lorsque dt est nul pour
t =o.
Si done on integre par rapport a t l'expression (4) et
qu'on y remplace la fonction F (a) par f(c), on aura une
solution de l'equation (i) qui, differentiee par rapport a t,
se reduira a f(x) pour t = o, et qui, de plus, deviendra
nulle pour t = o. On obtient ainsi l'expression
I C r00 _ sinamt
y 2 —a J() m ---- cosm(x-a) A ada,
277ra J - 00 m