Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

322 LIVRE IV.
Les quantites a et C peuvent changer d'une maniere quelconque en passant d'un terme a l'autre de cette somme, et
le nombre des termes est entierement arbitraire; s'il est infini, et que C soit fini, on a une serie; mais si C est infiniment petit, et de la forme F (a) dc, F designant une fonction arbitraire, on a une integrale prise par rapport a c.
La valeur de z est alors z = F ( C)eaX+Yr(a) da,et renfermera une fonction arbitraire.
233. Lorsque les valeurs de 6 sont toutes lineaires par
rapport a a, c'est-a-dire quand on a S = aac -- b, il est facile d'exprimer, sous forme finie, l'integrale generale de l'equation.
En effet, une des valeurs de 6 donnera la serie
z - Cebre,+Ar) = ebr Cec(+-a.ry.
Or, C et ca etant arbitraires, C C uL represente une fonction
quelconque de u; done 2 Ce"(+aY) represente une fonction arbitraire de e+ray, et, par suite, de x + ay. Si on la
designe par F(x -+ay) et qu'on raisonne semblablement
pour les m valeurs de 6, on aura, en ajoutant ces m solutions,
z - ebF(x +- ayj +- ebirF(x - aiy) +...
- ebm-,r YFm (x - a-_,Y).
Cette expression renferme m fonctions arbitraires telles
que, si l'on developpait par rapport aux puissances de x,
les m premiers coefficients pourraient generalement etre
egales a des fonctions arbitraires de y. Elle represente donc
l'integrale generale.