Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTIGRATION DES IQUATIONS DIFFERENTIELLES. 321
done
dz d2Zo a1.T2 dm zo am.r"
z = zoQ- -- ax -k -i- 1- -....- -....
dy dy 1. 2 dym 1.2... m
Or le second membre represente le developpement de la
fonction de y representee par z0 et dans laquelle on change
y en y +- ax. Comme d'ailleurs zo est une fonction arbitraire F (y ), on aura, pour l'integrale cherchee,
z =F(y- ax).
On trouve ainsi une fonction arbitraire renfermant deux
variables, mais d'une maniere determinee; ce n'est done
pas une fonction arbitraire par rapport aux deux variables.
Equations lineaires aux differentielles partielles.
232. Lorsque l'equation lineaire ne renferme pas de
terme independant de z et de ses derivees, il est facile de
voir que la somme d'un nombre quelconque d'integrales
particulieres satisfait encore a la meme equation.
Lorsque, de plus, les coefficients sont constants, on y satisfait par des expressions analogues a celles que l'on a
trouvees dans les equations diffrentielles.
Si l'on considere, par exemple, une equation de l'ordre
m, renfermant la fonction z et ses derivees par rapport a
x et y, multipliees par des constantes, on pourra poser
z = Ceax+Gr; l'exponentielle disparaitra, ainsi que C, par
la substitution dans l'equation donnee, et il restera une
equation du mia'nt degre entre a et C. Elle pourra donner
m valeurs de G en fonction de a; si l'on en designe une par
cp (a), on aura une solution de l'equation, en posant
z Ceacx+Y(a).

Calc. inzf' D. — II.

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