Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

effectuer le developpement par rapport aux puissances de
l'une des variables.
dnz
Si l'on pose -- - u, on aura
dau
d- F (x~,y)
dx
d'ou
m dnz
= Y Y, x —...-+Y Ymi + j F( x,y)dx. dnz
Integrant maintenant n fois par rapport ay, et observant
qu'a chaque integration totale il faut ajouter une seule
fonction arbitraire de x, et que les integrales de Y,... Y,,_
seront de nouvelles fonctions arbitraires de y, on aura
z=_ dy dx' F (xy) -+Y' - Y"x -+-. — Y(m)x-+ X +- X +-..-4- Xn_,y'"-I
On voit que ce developpement renferme des fonctions arbitraires de chacune des variables separement.
231. Appliquons la.ifrmule de Maclaurin a l'integration de l'equation tres-simple
dz dz
- a —
dx dy
On en tire, en diff6rentiant par rapport a x,
dz
d2z d2z dx d2z
aa ---- a
dx2 dx dy d dy2
d3az d3z
dx3 dy3
d"iz dmz
--- am
dxvm Ilym