Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

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donne identiquement la meme valeur pour d — que l'quation (I).
225. Si, au lieu de deux variables independantes, on en
avait un nombre n quelconque, on pourrait toujours supposer la fonction developpee par rapport aux puissances
de x; il n'y aurait de diff6rence qu'en ce que Y, Y1,...,
Y,-n_ designeraient des fonctions arbitraires de toutes les
variables independantes, excepte x.
226. Reciproquement, on sera assure d'avoir l'integrale generale d'une equation comme celle que nous considerons lorsque la fonction qui y satisfait et ses m - I premieres de'rivees par rapport a x, dans lesquelles on fera
x= o, pourront etre egalees a des fonctions entierement
arbitraires de toutes les variables independantes, excepte x;
car, puisque l'integrale donnee satisfait a l'equation proposee, tous les termes de son developpement, a partir
du 7i"l, se deduisent des m premiers, de la meme maniere
que dans le developpement de l'integrale generale. Or
ces m premiers sont identiques dans les deux developpements; done tous les autres le sont, et la fonction donnee
ne diff6re pas de l'integrale generale.
227. Nous avons suppose l'equation du m1i.ne ordre complete; mais il suffit evidemment, pour que nos raisonnements subsistent, qu'on puisse la resoudre par rapport a
un coefficient differentiel de la fonction, pris par rapport a
une variable seulement, et qu'il n'entre dans son expression aucune quantite ou il se trouve un nombre aussi grand
de diff6rentiations par rapport a la meme variable. Dans
le cas particulier oi ces conditions ne seraient satisfaites
relativement a aucune des variables, le developpement ne
pourrait plus se faire de la meme maniere, et nous nous