Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES 1QUATIONS DIFFERENTIELLES. 317
dMz
rapport a y; mais si I'on remet, au lieu de 9x' sa valeur
tiree de (i), on n'aura plus de derivee qui depasse l'ordre
m —I par rapport a x. En continuant ainsi indefiniment,
on aura toutes les derivees partielles par rapport a x,
depuis la milme jusqu'a l'infini, exprimees au moyen
dx d"-Iz
de x,y, z, dZ.' * et de leurs derivees par rapport
ay seulement.
II s'agit maintenant d'obtenir les valeurs de toutes les
derivees par rapport a x, quand on y fait x = o, ce qui les
rend fonctions de y seulemrent. Pour cela, on observera
qu'en faisant x = o dans une fonction de x et de y, et differentiant par rapport a y, on a le mmei resultat qu'en dif-; aisi dp+qz
ferentiant d'abord, puis faisant x = o; ainsi d- I
dx- d yq
dq ( AP
dans lequel on fait x o, est identique avec d — -
ig E * dPz\dP dP z
en designant par (d ) ce que devient -- quand on y fait
x = o. I1 suit de la que toutes les derivees de z par rapport
a x, dans lesquelles on fera x - o, se deduisent de z et des
m — I premieres, et des derivees que donnent ces m fonctions de y par rapport a y. D'ailleurs l'equation proposee
laisse arbitraires ces m fonctions, et ne determine que les
suivantes. On pourra done effectuer le developpement de z
par rapport a x comme il suit:
TX2 xm-"t
z Y -- YTxY -- +.. -- Ym.l ---- q...
I.2 1.2...m —I
Y, Y1,... Y,,_ etant des fonctions entierement arbitraires
de y. Et l'on pourrait demontrer a posteriori, commne dans
le cas des equations diffirentielles que ce developpement