Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFIRENTIELLES. 3oi
entre lesquelles la fonction est representee par cette serie
essentiellement periodique.
C'est pour cela que, regardant ce qui precede comme
une simple induction, nous allons determiner rigoureusement ce que represente une pareille serie.
208. Si l'on designe par u un arc quelconque, on salt
que l'on a
I sin(m 4- ) u
- + cosu -4- cos 2 u -cos 3 c os 3u +... - cosmu — sm +
2 2 sin U
Changeons u en x - a, multiplions par une fonction arbitraire F(a) et integrons, par rapport a a, entre deux limites quelconques a et b; nous aurons
r y fb / b rb
( F(.)da+( F(a) cos(x — ) la + (a) cos(. ) ()cos2( -a)d+...
/ r(b sin(1n-~)(x- Ce)d
F(a) costa( — - a) sin. -- ~)
2 2 2 o
2 6 sin(m + ) (- ) d
2 sin (cc-x)
On voit que rien ne serait change dans les deux membres
si l'on augmentait x d'un multiple quelconque, positif ou
negatif, de 27r, et que, par consequent ils representent
une fonction periodique dont la periode est n2r, quel que
soit d'ailleurs le nombre entier m. Or, lorsqu'on fait croitre
ce nombre indefiniment, le second membre tend vers unw
limite qu'il est facile de determiner, et le premier membre
sera le developpement en serie de la fonction qui exprime
cette limite.
On remarquera que l'on peut se borner a considerer les
valeurs de a infiniment voisines de celles qui rendent