Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

264 LIVRE IV.
d'ou il resultera
TP (x) -t- nTp-2 () = 0,
equation a laquelle on satisfera, quel que soit le nombre
entier p, en posant
p" (x) ~+ ny (x) = o,
d'ou l'on conclut? (x) = C sinx /n -+- C' cosx I/n,
C et C' etant des constantes arbitraires. Mais ce calcul ne
s'applique pas a tous les termes de la serie qui resulte de la
substitution de la valeur de y dans l'equation (i); il suppose que p soit au moins egal a 2, et il est necessaire de
considerer a part les deux termes qui renferment les puissances o - i et c - 2 de x. En egalant a zero leurs coefficients respectifs, on obtient
ca(~- i) -m- 721a =o, A,(a -- I)(Ca - m) +A(m -- 2a) = o.
La premiere donne
C 0 OU CC I - Im,
et la seconde conduit, dans l'un et l'autre cas, a l'equation
Al - - A.
Examinons successivement les developpements correspondant a ces deux valeurs de a.
I~ Soit ct = - m; la relation generale entre A, et
Ap_- devient
p (p - m - I) Ap/= (m - 2p) Ap-,.
En changeant successivement p en p - I, p -,..., on
determinera Ap en fonction de A1, et, comme A= — A,
on connaitra le coefficient general Ap en fonction de A qui
restera indetermine, mais que l'on pourra prendre egal a
l'unite, a cause des constantes C, C'.