Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES PQUATIONS DIFFERENTIELLES. 263
mee en x, sous une forme finie, lorsque m sera un nombre
pair positif ou negatif.
182. On peut encore presenter l'integrale de l'equation (i) sous une forme qui est souvent preferable a celles
que nous avons considerees jusqu'ici, et particulierement
lorsque m est un nombre pair positif ou negatif.
Posons
y _ Axm (X) + Al xa-+ (x) + A2 a+" () +...
les constantes a, A, Al, A2,... etant indeterminees, ainsi
que la fonction? (x) dont nous designons les derivees successives par p' (x), /' (x),.... Substituons cette valeur deyj
dans l'equation (i), et cherchons s'il est possible d'annuler
les coefficients des diverses puissances de x, qui seront en
evidence.
En diffTrentiant deux fois de suite y, on trouve
-= n A.ax-2(x) --- m A (= - 1) x-ty' (x) -+- mA2 (a --- 2)X!a? (X) -+-.
-- n Axc"- ' 9 ' (x) -- At x" (t ) -+-..
+ AXAa- y' (x) -+ 2A ( a+ I) xt'"(x) +...
-+ Ax " (x) +....
Si nous substituons ces developpements dans l'equation (i),
et que nous egalions a zero le coefficient du terme general
qui contient xa+P-', nous trouverons
[(a+-p) (a -p -- m - ) A,
+-t-(2a -t+2- p m-2)A-l,_,Ap-_2] (p(x) -- nAp_2 p-2(x) j o;
et pour que cette relation entre?P (x) et yP-2 (x) soit plus
simple et ne depende pas de p, nous poserons

(a +p) (a +-p 4- m -- I)Ap -+ (2c o + 2p + m - 2) A-t = o;