Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES LIMITES DE SOMMES. 5
Le probleme qui a pour objet la determination des limites
de sommes d'infiniment petits, dont on donnela forme generale F (x)dx, est done renferme dans celui qui a pour objet de remonter de la derivee, ou de la diffdrentielle d'une
fonction, a cette fonction. Ce dernier probleme est linverse
de celui du calcul des derivees ou des differentielles des
fonctions; il est prouve par ce qui precede qu'il a toujours
une solution, puisqu'il renferme celle du probleme des
limites de sommes, dont nous avons demontre l'existence.
11 nous reste done a chercher des regles generales pour
remonter des derivees aux fonctions.
4. Mais nous ferons d'abord une observation importante.
Si 1'on connait une solution de cette question, c'est-a-dire
une fonction ayant pour derivee la fonction donnee, on en
aura une plus generale en lui ajoutant une constante arbitraire, c'est-a-dire une quantite independante de la variable
dont il s'agit; car la derivee ne sera pas changee par cette
addition, puisque la derivee d'une constante est nulle.
Et il y a plus: il n'existe pas d'autres solutions que celles
que I'on obtient ainsi; car on ne pent ajouter a la premiere
fonction qu'une quantite qui ne change pas la derivee et,
par consequent, dont la derivee soit nulle d'elle-meme. Or
nous avons vu (tome er, n~ 70) qu'il n'y avait qu'une quantite independante de la variable qui put avoir sa derivee
nulle pour toute valeur de la variable; d'oiu resulte cette
importante proposition:
Lorsque l'on aura trouve unefonction particuliere de x
dont la derie'e par rapport a x sera la fonction donnee,
on aura la.fonction la plus generale qui satisfasse at cette
meme condition, en ajoutant a la premieire une constante
arbitraire.

Cette integrale generale s'ecrit de l'une des deux ma