Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

226

LIVRE IV.

11 est clair qu'au moyen des equations donnCes, qu'on ditferentiera inddfiniment, il sera suffisant et necessaire de
connaitre les valeurs que prennent y, z, u... et leurs derivees jusqu'aux ordres m-, n - I p - I,... inclusivement,
et dans lesquelles on fera x= o, pour pouvoir effectuer le
developpement de chaque variable par la formule de Maclaurin. Ces constantes sont entierement arbitraires, et leur
nombre est
m -- n -4- p -....
159. Laissant de cote maintenant les developpenients en
series, nous allons chercher a eliminer toutes les fonctions,
excepte une, et ramener ainsi la question a l'integration
d'une seule equation difftrentielle.
Proposons-nous d'abord d'eliminer y entre deux equations dans lesquelles le coefficient dilferentiel de 'ordre
le plus eleve par rapport ay est d — et, par rapport a z, d-~
Supposons, en premier lieu, que ces deux expressions
entrent dans chaque equation, combinees d'une maniere
quelconque avec les coefficients diffrentiels des ordres inferieurs, ainsi que r, z et x. Soient ces equations
dy dmy dz diz\
'' dx dX d'x.
dy dmr d dz d\
F, iy, -,.-.. z, - — ~,' -1.
'^^ ^*'*?dx df\ d*x dd )^ ~
Si l'on differentie ces deux equations un meme nombre
de fois quelconque, on introduira autant de nouvelles derivees de y. d'ordre superieur a m, et un nombre double
d'equations; de sorte que, si 1'on effectue ainsi mn differentiations, on aura 2m - 2 equations renfermant y et ses
2m premieres derivees, et l'on pourra en eliminer toutes
ces quantites par les regles ordinaires de l'Algebre. Leur