Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

IXTEGGRATION DES EQUATIOoNS DIFFERENTIELLES. 22)
Or, depuis 'ordre n', elles devront etre tirees de l'equation (2) et de ses derivees jusqu'a lordre n en z; ce qui
conduira a l'ordre 77n — n7- n' en y. Or,.si l'on avait
m'-7- n -n' > m, 1'equation (i) ferait connaitre d-r1 au
moyen des derivees d'ordres superieurs a m: et celles-ci an
mioyen d'autres plus elevees; on ne pourrait donc effectuer
le developpement dey. On doit donc avoir m + — ' > m' — n
pour que le calcul precedent puisse faire connaitrey et z;
et, dans ce cas, le nombre des constantes est encore le plus
grand des deux nombres 7m - n7 et nz' -i- n.
157. Si l'on avait eu m' —n > m-+-n ', on aurait au
moins l'une des deux inegalites m'> m, n > n'; soit, par
exemple, m'> mn. On tirerait des equations donnees les
v dm d nz
valeurs de, et-; on aurait amnsi
dm'. dmn-'y d' z\
dx-^ / *, d.^7-=- dx.,)
dnz I/ d"ty dn —lZ\
-dx7, y\ dxm dx- '
et les developpements seraient possibles, parce que les
equations rentrent dans le cas precedent. Le nombre des
constantes serait 7n' 4- n, et serait encore le plus grand des
deux nombres m' +- n et m +- n'.
158. Supposons maintenant un nombre quelconque
d'equations simultanees, qui doivent determiner, en fonction de x, les variables y, z, u,.... Nous considererons seulement le cas ou l'on peut les concevoir resolues par rapport aux coefficients diffdrentiels des ordres respectivement
les plus eleves par rapport a3y, z, u,..., savoir;
dmy d"z dPu
Calcul if D. - IId 15
Calsctl inf. D. - II I5