Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES LIMTITES DE SOAMIMES.

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Passons a un autre mode de decomposition des aires, et
considerons-les comme decomposees par des droites partait
d'un meme point et faisant entre elles des angles infiniment
petits. La question revient alors a trouver la limite d'une
somme de secteurs circulaires ayant pour rayons les rayons
vecteurs de la courbe, et pour angles au centre les differences des valeurs successives de l'angle du rayon vecteur
avec l'axe fixe.
Designant cet angle par 0, et par r le rayon vecteur qni
est une fonction donnee de 0, il s'agira de calculer la valeur
F-1 r2 r2
de lima - A0 ou, en representant -par F(0), la valeur
22 IE~~~2
de
limZ F( ) dO;
on en revient done encore au meme probleme d'analyse.
On reconnaitra facilemient qu'on est ramene a ce memne
probleme pour la cubature des solides, la rectification des
courbes, la quadrature des surfaces courbes, et les autres
limites de sommes que nous avons considerees.
Occupons-nous done de ce probleme unique d'analyse
auquel nous conduisent toutes ces recherches de limlites de
sommes.
Considerons une fonction quelconque de x, F(x), et
demontrons d'abord qu'il existe une limite determinee pour
la somme F (x) Ax, lorsque l'on prend successivemeint
pour x les valeurs depuis une valeur x0 jusqlu't une antre
valeur X, en les faisant croitre par intervalles egaux ou
inegaux, designes par Ax.
11 suffit pour cela de concevoir une courbe ayant pour
equation y = F (x); F(x) Ax sera la somme de rectangles interieurs ou exterieurs, que nous avons demontres