Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTtGRATION DES EQUTATIONS DIFFERENTIELLES. 205
Substituant dans l'equation (i), ]es termes qui renferment
C disparaissent en vertu de l'equation (2); ceux qui rendC
ferment d disparaissent, ainsi que les suivants, jusqu'a
dn-' C
ceux ou entre d_ inclusivement, parce que la racine a
annule les n -I premieres derivees de l'equation (2). I1
reste done une equation en C dans laquelle l'ordre le plus
eleve est 7n, et le moins eleve est n. Son integrale generale
fournirait m constantes arbitraires; mais nous n'avons besoin
que d'une valeur de C qui en renferme 7n et c'est ce que
nous aurons en posant
dnC
-n -o, d'ou C — A' -Bx +-... +P' x"-t;
ce qui conduit de nouveau a la formule (7).
142. Si le dernier terme V etait fonction de x, on pourrait commencer par le negliger, et l'on integrerait l'equation (i) conime nous venons de le faire; puis on considererait les constantes comme des fonctions de x, et l'on
obtiendrait la solution complete de l'equation proposee par
le procede indique precedemment. Nous ferons observer
seulement que, si quelques-unes des racines a1,..., a,,
etaient imaginaires ou egales, il serait convenable d'employer l'integrale de l'equation (i) avec les modifications
que nous avons indiquees dans ce cas.
Cette equation peut aussi s'integrer par la methode de
M. Cauchy, et nous la choisirons pour donner un exemple
de cette methode. Soit
tmy drtm-' dy
-- +A - -+...T -- Uy = F (x)
dx'm dx"11-1 dcx

En negligeant le second membre, l'integrale generale sera