Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

tNrt EGBATION DES EQUATIONS DIFFiRENTIELLES. 20?)
tion (I), puisqu'il n'y aurait plus n constantes arbitraires.
Mais il est encore facile de trouver dans ce cas l'integrale
generale.
Soient a, et a2 deux racines que l'on suppose egales. On
peut alterer infiniment peu les coeffcients de l'equation (i),
de telle sorte que l'equation (2) n'ait plus de racines egales,
et que, par consequent, la formule (3) donne l'integrale
generale. Lorsque les coefficients tendront vers ceux de
1'equation (I), cette integrale tendra vers une limite qui
satisfera necessairement a l'equation proposee, et qui en
sera l'integrale generale, si elle renferme in constantes arbitraires.
Soit a, + - la valeur de la racine qui tend a se reduire
a a1. Les termes correspondant a a, et a, -i- 3 dans la valeur de y seront
ceatx — c', ou cex - I- c' ca I -~ ' x a *..
ou1 en posant c -t-.c' == A, ctd == B,
Aea, -- B eaix - - e-.2 -a-.;
1.2
les constantes c et c', etant arbitraires, peuvent toujours etre
choisies de maniere que B et A aient des valeurs fimies
quelconques, quelque petit que soit d. Done, a rnesure
que a tend vers zero, la somme des termes que nous considerons tend vers la liinite Aeax +- B.xe x, et la formule (3) se change en celle-ci:
(6) y = ea, (A 4- B.)( -A c3 ea —.. - C ei.,
Cette valeur de y est l'integrale generale, puisqa'elle renfermee m constantes arbitraires.

140. Si trois racines etaient egales, on supposerait d'a