Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTtGRATION DES fQUATIONS DIFFP-RENTIELLES. 201
Les premiers membres de ces equations ne sont autre chose
que les valeurs que prend le polynome
k -+- k'a -+ k"a'a2... - am-1,
que nous designerons par? (a), dans lequel on remplace
successivement a par toutes les racines de 1'equation (2),
excepte a: le polynome? (a) aura done pour racines a2,
a3., a,,, et il en resultera
F(a)?(a) (a — a2) (a - a3).. (a - am) F= -
a - at
en representant par F (a) le premier membre de l'equation (2). De cette equation on deduit
(a,) = F' (a,),
et l'on aurait de mmee
9(2) = F' (a2),
et ainsi de suite; de sorte que, si l'equation (2) n'a pas de
racines egales, lee denominateurs des inconnues cI, c2:...,
qui sont F'(a), F' (a2), seront differents de zero, et par
consequent on pourra satisfaire aux equations (5); ce qu'il
fallait demontrer. Les equations (4) ou (3) representent
done bien l'integrale generale.
Achevons maintenant ce qui se rapporte a la determination de ces inconnues, par exemple de c1; sa valeur est
kyo + k'y'o + —. + y( -1)
V' (a,)
Ft
11 ne reste done qu'a connaitre les valeurs de A, k',...; or
elles resulteront de l'identite
+' ka+i "a2+-...- am-1 F(a)
a -- a
II suffira de developper le quotient fini de F (a) par a - a,,