Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFITRENTIELLES. I97
excepte le dernier, on a une equation de la forme
(3) d7 F (
F etant une fonction quelconque de x. En integrant m fois
de suite par rapport a x, on aurait la valeur suivante dey y
= F (x) dxm x- ffdx...JfF (x) dx e+C1x.l-'.+c.
Mais, an lieu de quadratures successives, on peut, au.moyen d'une formule que nous allons faire connaitre, exprimer y par une suite de quadratures simples, independantes les unes des autres.
On y pourrait parvenir en partant de F (x) dx et
l'integrant par parties; on n'aurait ainsi que des inte'grales
simples qui donneraient la valeur de fdx F (x) dx ou
r2
f F (x) dx2 integrant par parties le resultat, on formef 3
rait J F(x) dx3 au moyen d'integrales simples, et l'on
continuerait ainsi indefiniment.
Mais la formule generale a laquelle on arriverait ainsi
est beaucoup plus facile a obtenir d'apres la methode que
nous venons d'indiquer pour l'equation complete (I).
En effet, dans le cas actuel, l'equation en z se reduit a
dmz
-- o0 dont l'integrale generale est un polynome du degre m - a coefficients arbitraires. On satisfera a la condition que ce polynome soit nul ainsi que ses 7 - 2 premieres derivees pour la valeur x a, en lui donnant
la forme M ( x- )"n-, et enfin, pour que sa derivee
d'ordre (m -- ) se reduise a F(ao), il faudra prendre