Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

92 LIVRE IV.
I1 en sera done de meme de l'equation (b), et ainsi de suite,
jusqu'a ce que l'on ait pour y une expression renfermant
in constantes arbitraires, et qui sera l'integrale generale.
132. Le calcul precedent conduit encore a cette importante proposition, que l'equation (a) ne saurait avoir de
solution singuliere. Supposons, en eftet, qu'il y en ait une,
et designons-la par ), apres qu'on aura remplace par des
valeurs particulieres quelconques les constantes arbitraires,
si elle en renferme. Les raisonnements qui ont ete faits
dans le numnero precedent conduiront encore a ine valeur
de la forme
y c, yl + C2Y2 ~- * —. Cm 'm,
qui sera necessairement l'integrale genedrale. Mais y? s'obtient en supposant nulles toutes les constantes excepte c:
elle est done une integrale particuliere: quelques valeurs
qu'on y ait mises pour les constantes, et non une solution
singuliere, comme on l'avait suppose. D'oui il suit que les
equations renfermenes dans la formule (a) ne peuvent janais
avoir de solutions singulieres.
133. Cas oui l'on connait une integrale particulliee de
' equation (I). - Lorsque l'on connait une integrale particuliere de l'equation (I), on peut ramener la recherche
de son integrale generale a celle de l'integrale generale de
l'equation (2).
Soit, en effet, u cette integrale particuliere; on posera
y = U -+- z dans l'equation (i), et, supprimant les termes
qui se detruisent d'apres l'hypothese, il restera
d"1z d...' z clz
-- - A --- +. T -+- + Uz -- o,
LdrXn clX'-L dx
et l'on est ramnene, par consequent, l a recherche de l'integrale generale de l'equation (2).