Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

I84 LIVRE IV.
Reciproquement, toutes les fois qu'elle aura lieu, la question admet une solution; car nous allons demontrer que,
dans ce cas, le premier membre de l'equation (2) devient
inddpendant de y quand on en elimine x.
Mais, pour plus de simplicite, nous supposerons que
l'equation U =o ait ete resolue par rapport a la constante
C, et soit remplacee par U = C, ce qui ne changera rien
aux conditions. L'equation (2) se change alors en la suivante
dU
dU dx dC
- I-R - - - o
dz P dz
et il faut toujours que la substitution de x en fasse disparaitre y.
Soit v le facteur qui rend P dx -i- Q cly diff6rentielle
exacte; on a
vP dx -- vQdr d U
et
vP -X vQ C
dx dy
La quantite qui ne doit plus renfermer y est
dU
dU dx dU
- R ou -- vR,
dz P dz
et il suffit d'exprimer que sa derivee par rapport a y est
nulle, en considerant x comme une fonction de y, dont la
derivee partielle par rapport ay est - Q. On obtient ainsi
d2U d2U Q dR dR Q _i d Q\
rz dy ~z dxz P dy P dy dx P
En multipliant par P et observant que vQ, et
o tQ