Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

iNTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. I 8
dantes y, z, et la difrFrentielle totale de x renfermera ia a
fois cette fonction et les variables independantes, P, Q, R
etant des fonctions quelconques de x, y, z.
Si l'on connaissait la valeur de x en y et z, en la remettant dans ces trois fonctions, - et - - seraient identiP P
quement les derivees partielles de x par rapport a y et z.
Donc, d'abord, si l'on cherche la fonction la plus generale
dey qui satisfasse a la condition que sa derivee, par rapport a y, soit -, 'z etant considere comme une constante,
la valeur cherchee de x sera renfermee dans celle que 1'on
aura ainsi determin6e; et il ne restera plus qu'a l'assujettir
a satisfaire a la seconde condition.
11 faut done d'abord integrer'l'equation
dx Q
dy —p —, ou P dx -- Q d o,
dy P
dans laquelle z est une constante. Ce probleme rentre dans
la theorie precedente; et, en le supposant resolu, on aura
une equation U= o entre x, y, z, C; C designant une
quantite arbitraire, independante de x, y, mais qui peut
renfermer z d'une maniere quelconque; et il s'agit maintenant de determiner C, s'il est possible, de maniere que
la derivee partielle de x, par rapport a z, soit identiqueR
meni - -, au moins, lorsqu'on aura substitue a x sa valeur
tiree de U o.
Difftrentiant l'equation U o, en traitant y comme
constant, il vient
dU dU.dx\ dU. dC
dz + dx dz) - dC d ~;
t substituant la valeur -- qu'il doit avoir
ct substituant a z la valeur -- cq'il doit avoir, il ser-a
dz, P 1