Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES ]EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 173
singuliere, puisqu'elle est l'enveloppe des integrales particulieres.
Dans le cas oI l'on prend les signes superieurs, elle n'est
autre chose qu'une ellipse dont les foyers sont les deux
points donnes, et don't le petit axe est egal x 2b. Si l'on
prend les signes inferieurs, les deux points etant de c6tes
diff6rents de la tangente, les perpendiculaires sont respectivement moindres que les segments de la droite egale a 2 c,
d'ou resulte c > b. La courbe est done alors une hyperbole
ayant pour foyers les deux points donnes, et pour axe imaginaire 2b.
Le second facteur de l'equation (2) doit aussi donner la
solution singuliere, comme cela a ete demontre generalement. En l'egalant a zero, on a
p (c'~ — + b)
(4) x - __ 0.
c c — b'2)p -~ bz
Eliminant p entre les equations (i) et (4), on retrouve
l'equation (3), comme cela devait etre.
Dans cette question, la courbe que l'on avait en vue de
determiner est donnee, non par l'integrale generale, mais
par la solution singuliere; ce qui montre que cette dernire
doit toujours etre cherchee avec le meme soin que la premiiere.
122. On donne deux paralleles, et sur chacune d'elles
un point fixe; et l'on deinande 1'equation de la courbe
telle, qu'en Iui menant une tangente quelcon7zqe, les
segments dete7rmines sutr chaque parallele ent7e le point
fixe et le point de rencontre avec la tangente donnzent ut
produit constant 62.
Soit 2a la droite qui joint les deux points fixes; prenons
l'origine en son milieu, l'axe des x suivant sa direction, et
l'axe des y parallele aux deux lignes donnees.