Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. I 6
114. Bqutation lineaire. - On peut encore, par un
changement de variables integrer l'equation lineaire du
premier ordre
dy -- Xy dx - X dx - o.
Soity = uz; tu et z etant des fonctions de x indeterminees, on aura dy = u dz +- z duz, et en substituant,
uc -l-z z di -+- X u z cx -~ X, d - o.
On peut determiner d'abord u d'apres la condition
du -- Xu dx -- o, et il en resultera udz +- X1 dx = o. Or
les variables se separent dans l'avant-derniere, en divisant
du
par ii; ce qui donne - q- X dx -- o.
En integrant, il vient logu -i- X dx = o, la constante
arbitraire etant comprise dans l'integrale inddfinie.
On tire de la ui e-S"dx substituant dans l'equation
u dz +- Xi dx == o, i vient
e-S dz -~ XI dx- o, d'ou z -- — fX e' dx - C,
C etant la constante arbitraire relative a la nouvelle integrale, qui sera prise a partir de telle limite que l'on voudra.
On aura ainsi
y = e- dx (C -S X, efX dx
La constante arbitraire de f X dx disparait d'elle-meime
de cette expression, et il n'en reste qu'une, commne cela doit
etre. On retrouve ainsi l'integrale deja donnee par une
autre melthode.
11a. Equation de Bernoulli. - On pent ramener ia
l'equation lineaire la suivante, qui a ete traitee d'abord par
Jacques Bernoulli:.dy q X ydy = X1 y"-+t dx.