Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 155
Soit v une premiere fonction telle, que v (Q cy - P dx)
soit la diffrentielle d'une fonction it de x ety; il est d'abord evident que le facteur v? (it) rendra encore le premier
membre integrable: car, puisque v (Q d&y -- P dx) = du,
on aura c? (u) ((Qdy -- P dx) — (u) du, ce qui est la differentielle de f? (u) du.
Soit maintenant V une autre fonction quelconque telle
que V (Q dy 4- P dx) = dU, U designant une fonction de
x et y. On en deduit l'identite
du - dU.
v
Or, le second membre etant une differentielle exacte, le
premier qui lui est identique en x et y devrait aussi en etre
une; ce qui ne saurait etre si V n'etait pas une fonction de
V
la fonction u seulement. Ce dernier point, qu'on admet
assez ordinairement comme evident, a cependant besoin
d'etre plus rigoureusement etabli.
II s'agit de prouver generalement que, si l'on a u — (xy),
1'expression F (x, y) du, ou F (x,j)) (d dx - dy), ne
peut etre une diff6rentielle exacte relativement aux deux
variables x et y, si l'on n'a pas
F (x, y)= (u)= [f (x, y)],
quelle que soit d'ailleurs la fonction +.
En effet, eliminonsy au mnoyen de l'equation u =f(x,y);
F (x,y) deviendra une fonction de u et x, c (zt, x). L'expression qui etait une differentielle exacte relativement a x
et y le sera relativement a x et ui; c (u, x) du sera donc
une diffirentielle exacte d'une fonction des deux variables
independantes x et u; mais, dx n'entrant pas dans cette differentielle, son coefficient, ou la derivee partielle de la