Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. I S
104. On pent demontrer qu'il existe toujours un facteur v qui rend Q dyr -- P dx differentielle exacte. En efiet,
il est demontre que l'equation proposee a une integrale
renfermant une constante arbitraire c, et que nous representerons par F (xy, c) = o; et l'equation diff6rentielle
a ete obtenue necessairement en eliminant c entre cette
derniere et celle que l'on a obtenue en la diff6rentiant,
apres l'avoir transformee prealablement d'une maniere
quelconque, si on l'a juge convenable. Or, quelque forme
qu'on lui ait donnee, nous avons demontre precedemment
qu'apres l'Ilimination de c l'equation a laquelle on sera
parvenu donnera identiquement en x ety la meme valeur
dyr
pour dx
Cela pose, concevons l'equation F (x, y, c)= o mise
sous la forme? (x, y) = c, d'ou dx + d o; la
dx 4dy oa
valeur de d- tiree de cette equation et celle que donne
l'equation proposee devant etre egales, quels que soient x
ety (n~ 94), on aura identiquement
d?
dx P
d? Q
dy
Tirant de la P et le reportant dans l'expression Qdy — Pdx,
on obtient
(d I)dr dx d
et, par consequent, en multipliant la proposee par d -y
son premier membre devient une differentielle exacte. On