Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

I44 LIVRE IV.
car, si le second point n'etait pas rigoureusement sur l'enveloppe, l'equation ne donnerait pas deux valeurs rigoureusement egales pour dyi quand on y substituerait les coordonnees de ce point; done, a la valeur suivante de x, on
trouverait deux points au lieu d'un, et les deux lignes existeraient necessairement.
100. L'integrale singuliere peut aussi etre determinee au
moyen de l'equation differentielle elle-meme. Soit cette
equation
(6) f(, y,y') 0o,
dans laquelle y' represente dy
La representation geometrique de la solution singuliere
etant la courbe enveloppe de celles qui representent les integrales particulieres, celles-ci se coupent generalement les
unes les autres; et, quand elles sont infiniment voisines, le
point d'intersection devient un point de contact et appartient a l'enveloppe. Ainsi l'equation (6) doit generalement
donner pour une meme valeur de x et y au mloins deux
valeurs diffrentes de y', et deux de ces valeurs doivent devenir egales quand x et y se rapportent a un point de l'enveloppe, ou, en d'autres termes, satisfont a l'equation qui
represente la solution singuliere. On exprimera done quo
l'equation (6) donne deux valeurs egales pour yt, ce qui se
fera en posant d = o, sif(x, y, y') est une fonction dont
la forme soit unique. Si sa fornie etait multiple, on pourrait la reduire a etre unique, ce qui rentrerait dans le premier cas: on pourrait aussi traiter successivement chacune
des equations distinctes renfermees dans f(x,y, y') = o,
et exprimer qu'elles dofinent des valeurs egales de y', on
bien qu'une valeur de y' rire de l'une est egale a une valeur