Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGTRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. I43
rapport a a, on a l'equation du lieu des intersections successives des courbes representees par l'equation (I), dans
laquelle on fait varier a d'une maniere continue. Done Fintegrale singuliere represente la courbe enveloppe des integrales particulieres.
Remarque. -- Si l'on construit, d'apres l'equation differentielle, le lieu geometrique d'une quelconque de ses integrales, comme nous l'avons indique precedemmment, et que
l'on choisisse, pour l'ordonneeyo, celle de la courbe enveloppe correspondant. a l'abscisse x,, I'equation devra
fournir deux valeurs generales de dy correspondant l'une a
l'enveloppe, l'autre a l'enveloppee, et qui seront egales,
pour le point commun, a ces deux courbes.
La construction indiquee fournira alors les deux courbes.
I1 y a toutefois une exception remarquable a cette proposition: elle a lieu lorsque l'enveloppe qui represente 'integrale singuliere est une ligne droite.
En effet, si l'on part d'un point de cette droite, deux valeurs de d sont egales en ce point, et par consequent les
deux valeurs correspondantes de dy que l'equation fera
connaitre seront les memes, comme cela a lieu en general;
mais, dans le cas actuel, une de ces valeurs sera rigoureusement exacte, et ce sera celle qui correspond a la ligne
droite dont l'equation du premier degre donne, sans rien negliger, dy = p dx, tandis que, dans tout autre cas, on neglige
une quantite infiniment petite par rapport a dy. II suit de la
que le point voisin du point de depart appartient rigoureusement a l'enveloppe, et qu'on se trouve, par consequent,
dans les memes conditions qu'en commencant. On voit done
que, dans ce cas, l'equation differentielle donnera l'integra'le singuliere seulement, et aucnne des integrales particulieres; et il est clair que c'est le seul cas ou cela arrive