Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES rQUATIONS DIFFtRENTIELLES. 137
Ces fonctions F? f, etant les derivees mi"ees de la mme
fonction yr ont des valeurs egales, quel que soit x. Soit xo
une valeur quelconque attribue a x etYo, (Y) ( m )
les valeurs correspondantes que prennent y et ses m - I
premieres derivees, et qui peuvent etre supposees egales a
des quantites quelconques, en choisissant convenablement
les m constantes eliminees.
Les deux expressions suivantes:
r -0 dy \ ) o" dm'-y\ \1
Fuhr0 It'^ '- II)
L'0, o, \dx/o \ ' \ /o
f jXo0 Yo, (dy) ( d0y) ]
devront etre egales, quel que soit Xo, pour toutes les valeurs donnees arbitrairement aux quantites, (-)i * *
/ "-' r ) et aux constantes non eliminees; par consequent,
toutes ces diverses quantites doivent y entrer d'une maniere
identique. Mais elles y entrent de la nmme maniere que
dy drnm-'.
x,) d*' "") dZ,,- et les constantes non eliminees entrent
d'y
dans les deux expressions de -d; done ces deux expressions sont identiques, et les deux equations differentielles,
dpzmr
resolues par rapport a d 'r le sont par consequent; d'oui
se deduit cette importante proposition:
De quelqute maniere que l'on parvienne a une equation
diffdrentielle de l'ordre m, en partant d'une meme equation entre x et y, et eliminant les memes constantes en
zombre m, on obtiendra toujours la meme.
95. Cette proposition donne lieu a quelques remarques
utiles.