Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGERATION DES EQUATIONS DIFFERENT1ELLES. 133
en negligeant encore les quantites du second ordre, ainsi
que l'erreur encore plus petite provenant de la valeur dey
dans laquelle on a neglige une quantite du second ordre.
En continuant ainsi, et negligeant toujours les quantites
du second ordre en c, on aura autant de valeurs que lon
voudra de y, ou autant de points qu'on voudra de la courbe
qui satisfait a l'equation differentielle, et passe par le point
arbitraire dont les coordonnees sont xo, yo. On voit par la
qu'une equation du premier ordre a une infinite d'integrales qui ne diff6rent les unes des autres que par la valeur
d'une constante, qui est 1'y correspondant a une valeur
de x choisie arbitrairement. L'expression generale de y,
resultant des calculs precedents, est
=-yo+ F (xo, oyo) +]F[x -- a y, y - F (7o) +..,
le nombre des termes a prendre dependant de la valeur de x
que l'on considere; et lon aurait sans erreur la valeur de y
en fonction de x, si l'on pouvait trouver la limite vers laquelle tend la somme de n - I termes de cette suite, en
supposant n c = x - x0o et a decroissant indefiniment.
93. II est a remarquer que cette maniere de determiner
les diverses integrales de l'equation differentielle s'applique
a toutes les solutions: les integrales particulieres et les integrales singulieres s'y trouvent egalement comprises, ce
qui n'a pas lieu dans les autres methodes.
On procederait d'une maniere semblable si l'on avait a
integrer une equation du second ordre, dont la forme peut
toujours etre supposee reduite a celle-ci:
F dy\ oud dz F Yr dr.
dn se donnait abirirm s vaers x ) crOn se donnerait arbitrairement les valeurs y^ (Li cor\dxl1