Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

On a done, pour y, la valeur suivante sans constante arbitraire:
I x2
Yz '2 -,
laquelle n'est pas comprise dans l'integrale qui renfermc
une constante arbitraire, et, par consequent, est une solu'tion singuliere.
Autre moyen de determiner les integrales des equations
differentielles.
92. Au lieu de faire servir I'equation differentielle a la
determination des coefficients du de'veloppement de l'integrale, on peut l'employer a calculer, avec autant d'approximation que l'on voudra, les accroissements successifs de la
valeur dey, et, par suite, cette valeur elle-mieme. On n'aura
pas ainsi l'expression de y au moyen de x, mais autant de
valeurs approchees que l'on voudra; en d'autres termes,
on connaitra approximativement autant de points qu'on
voudra de la courbe representee par l'equation que 1'on
cherche.
Considerons d'abord l'equation du premier ordre, que
l'on peut toujours supposer mise sous la fbrme
dy -F (x, y)dx.
Si l'on se donne a volonte la valeur y0 correspondant
a un x arbitraire x0, l'equation donnera 1'accroissement
que prend y quand x devient xo - a; sa valeur sera
dy =- F (x0, 0y) a, en iegligeant toutefois les quantites du
second ordre en a. D6signant par x', y' ces deux nouvelles
valeurs de x et y, 1'accroissement de y' relalif a un accroissement a de x' aura pour valeur
dy — F(x', r') a,