Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

Cette equation donne identiquement les memes solutions
que la proposee, pourvu qu'il ait ete permis de diviser par z 3
ce qui exige que z ou y- x ne soit pas zero. Si donc
- x o ne peut satisfaire a la proposee, l'equation (a)
en donnera toutes les solutions; mais, si y -- x = o y satisfaisait, il y aurait des solutions qui pourraient ne pas etre
renfermees dans l'equation (a); et, en effet, y -x == o ne
satisfait pas a cette derniere, quelque valeur que l'on donne
a la constante arbitraire, et satisfait cependant a la proposee. Elle est done ce que nous avons nomme solution singuliiere.
Cette solution n'etant pas renfermee dans l'integrale generale, voyons ce que deviennent les coefficients du developpement le plus general de y, donne par la formule (3).
Or il est evident que, si l'on fait y = x, tous les coeffid2y
cients difTfrentiels, a partir de d — deviennent infinis; et
si l'on n'avait pas supprime le facteur commun (y-x)3
aux deux termes de la valeur de d- elle se serait presentee
s0us la fore
sous la forme -.
0
Cet exemple montre qu'il peut arriver, comme nous l'avions annonce precedemment, qu'une valeur de y en x
satisfaisant a une equation differentielle, et developpable
suivant les puissances de x, ne donne cependant pas un
developpement possible en partant de l'equation differentielle proposee, et que, par consequent, on ne peut repondre que l'integrale, dite gene'rale, renferme toutes les
solutions de l'equation proposee; ou, en d'autres termes,
qu'il n'existe pas de solutions singulieres.
91. S'il arrive que l'une des equations obtenues par la
diffirentiation de la proposee soit decomposable en deux