Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

124 LIVRE IV.
les coefficients etant toujours determines a partir de 1'ordre
m, au moyen de l'equation (i), et se rapportant a x = xo;
et, reciproquement, l'equation i) se deduirait de celle-ci
par m differentiations successives.
La valeur arbitraire x0 pourrait bien etre choisie de maniere qu'aucun coefficient de la serie ne devint infini,
si ces coefficients ne depcndaient que de x0; mais comme
ils renferment encore la valeur correspondante de y et de
ses derivees, il pourra arriver qu'une certaine fonction
y = (x), tout en satisfaisant a l'equation differentielle,
rende infinis ou indetermines certains coefficients du developpement, quel que soit x: nous en donnerons bientot
un exemple.
On voit par la que les fbrmules (2) et (3) peuvent ne pas
renfermer toutes les fonctions qui satisfont a 1'equation (i).
I1 est inutile de dire que ces deux fbrmules coincident
lorsque toutes les solutions sont developpables au moyen
de l'une et de l'autre, puisqu'elles representent alors identiquement les memes fonctions. Dans les limites ou elles
sont suffisamnient convergentes, elles peuvent servir a donner, par approximation, la valeur de la fonction cherchee.,On donne le nomn d'integrale generale de 1'equation (i) a
l'equation (3), dont l'equation (2) n'est qu'un cas particulier correspondant a x0 o.
L'equation (3) satisfaisant a l'equation proposee, quelles
que soient les valeurs des m premiers coefficients, yo,
Idx " ',. ( dx"-'o ) puisqu ils disparaissent au moyen des
m diff6rentiations qui conduisent de l'equation (3) a la proposee, nous en conclurons que l'integrale generale d'une
equation difterentielle de I'ordre nm renferme nicessairement m constantes arbitraires qui sont les valeurs de la
fonction et de ses m - i premieres derivees, correspondant a une valeur de x prise a volonte.