Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

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LIVRE IV.

CHIPITRE PREMIER,
DES INTEGRALES DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
D'ORDRE QUELCONQUE.
85. Integrer une equation diffirentielle entre deux variables x ety, c'est trouver toutes les vaieurs de y en fonction de x qui y satisfont; on, en d'autres termes, c'est trouver une equation entre x et y qui soit une consequence de
la proposee, et, reciproquement, dont celle-ci soit une consequence.
Sous le point de vue geometrique, c'est trouver toutes
les courbes dont les coordonnees et leurs rapports diffdrentiels des divers ordres satisfont a cette equation.
Considerons l'equation generale de l'ordre m, c'est-ai-dire
celle oui m est l'indice de la derivee de l'ordre le plus eleve
qui y entre, quelles que soient d'ailleurs les puissances dont
ces derivees soient affectees. Soit cette equation
(IT) F( dy dy dr d \ )"r
( ) F 0.~y,* ~, "d-) o.
d11 ' " y d d'"-1.y
Elle determine,en fonction de x d ry ' --..- \ et si
on la differentie successivement, les rapports ditffrentiels
d+l' y dtz'+2y
d ---, -Z —,.. seront determines en fonction des mnemes
dx"li-J-1 ' d z1-2
quantites.
Toute fonction de x peut, en general, etre developpee en
serie, au moyen des theoremes de Taylor ou de Maclaurin.
Le premier est moins sujet aux exceptions, parce qu'on
peut choisir la valeur de x qui entre dans les coefficients,
de telle sorte qu'aucun d'eux ne devienne infini. Dans ce