Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFtRENTIELLES. I 2
neral, inverse de celui du Calcul differentiel, et qui a pour
objet de determiner des fonctions d'apres des equations ou
elles sont engagees d'une maniere donnee avec leurs derivees et les variables independantes.
Des questions physiques ou il n'entre aucune consideration de forces peuvent encore ramener a ce meme probleme
d'Analyse. Ainsi, lorsque l'on connait a un certain instant
les temperatures de tous les points d'un corps, on peut exprimer, au moyen des derivees partielles de la temperature,
par rapport aux coordonnees, le flux de chaleur qui traverse
un element plan infiniment petit, dans une direction quelconque et en un point quelconque. Or on a pu deduire de
l'expression generale de ce flux l'elevation de temperature
que subit un element infiniment petit du corps dans un
temps infiniment petit, en negligeant toutefois des quantites infiniment petites par rapport a cette elevation. On
connait, par suite, la derivee partielle de la temperature
par rapport au temps, et l'on a ainsi une equation entre cette
derivee et les derivees de la meme fonction par rapport aux
coordonnees. Le probleme de la determination de la temperature des divers points du corps a une epoque quelconque
s'est done trouve ramene A l'integration d'une equation
entre une fonction de plusieurs variables independantes et
plusieurs de ses derivees partielles. On concoit done de quel
interet il serait, pour le progres des sciences mathematiques
pures ou appliquees, de resoudre le probleme general de
l'integration des equations differentielles. On ne le peut
malheureusement encore que dans des cas bien restreints;
et c'est cette etude qui va nous occuper maintenant, en limitant toutefois les theories a ce qu'elles ont de plus elementaire et de plus essentiel.