Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES LIMITES DE SOM_.MES. 109
drilatere dx dy, et nous choisirons celui dont l'x est le plus
petit, ainsi que 1; de sorte que, ces coordonnees etant x, y,
celles du sommet oppose soient x -- dx, y dy. Cela
pose, Faire d'une surface plane etant egale a sa projection
ortliogonale, divisee par le cosinus de l'angle de son plan
avec le plan de projection, on aura, en ddsignant par s 'aire
de la surface courbe,
/t/ dz\ 2 dz\2 __22___
ds = dx ady I -- - -d dy ~/ i- _' -2,
dz dz
d- dx) ou p, q etant les derivees partielles de la foniction
de x et qui represente l'ordonnee de la surface.
Ainsi, pour obtenir la surface qui se projettera sur le
plan XY dans l'interieur d'une courbe, donnee par 'Fequation ~ ((x,,) = o on cherchera d'abord la parlie com.prise
entre deux plans perpendiculaires a l'axe des x, et distants
l'un de l'autre de la quantite infiniment petite dx. Pour
cela, on integrera par rapport a y, en considerant x comurie
constant, l'exprssion dxcdy I-T pd -r- q2 les limites de
cette integrale seront les valeurs de j donnees par l'equation
(x, y)) - o. Designons ces deux fonctions de x parjy0, q.X
L'aire comprise entre les deux plans sera donc une fonction
de x exprimlee par
dx I dy l/I — p2 -- q2
Uro
Si maintenant on integre cctte expression par rapport i.x,
entre les deux valeurs relatives aux limites de la courbe
(x,y') - o ct qui satisferont a lFe'quation
d0,
on auraun resultat qu i ne renfermn ra plus ni x ni -, ct
sera la rnesure de 'air demiandee.