Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES 'LIITES DE SOMMES. o10
La differentielle de l'aire engendree par la partie inferieure
sera
27r[R - - 2 (x --- ( 7X)2 dS.
Si on les suppose comprises entre les deux memes plans
perpendiculaires a l'axe, x et ds seront les memes, et la
somme des deux diflfrentielles sera 4rS' ds, dont l'lintgrale
est 4. s -+- C.
On aura la surface entiere en prenant s egal a la demicirconfdrence trR et C= o; ce qui donnera
4.7R2CR, ou '27rR27Tr.
La surface du solide entier est donc egale au produit de la
circonference generatrice par la circonference decrite par
son centre.
On peut calculer separement la surface engendree par la
partie superieure, et par la partie inferieure de la circonference. En eifet, la premirre est
27[5s -fSds R2 -(X _ — )2] = -x 9i(S -l-SRx.r)
= 2(s -7 - t. -t- C).
Pour avoir la partie superieure tout entiere, il faut prendre
pour x les limites a - R., a - R, et donner a s la valeur
RP, ce qui donne
27r2R + 47'R2.
Dans le calcul de la partie infAerieure, il n'y aura que le
second terme a changer de signe, et 1'on trouvera
2a 2R- 4'R'.
Leur somme est 4L2 GR, comme nous l'avons deja trouve.
Leur difference est 8TrR2, ou le double de la surface de la
sphere dont le rayon est R.
I1 est remarquable que cette difference soit ind6pendante
de la distance du cercle a 1'axe de rolation; et cela tient a