Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

DES LIMITES DE SONMMES.

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Donc
s VI~L- a2 ~C V4I a2
^s _ A + e"~ - +- C _ 7' + C.
a a
Si l'arc commence au pole, qui est asymptote de la courbe
on aura
C - o et s-r.-
a
Cette expression est celle de la longueur de la tangente
menee a l'extremite de l'arc, et terminee a la perpendiculaire au rayon vecteur mene par le pole. Ce resultat avait
deja ete obtenu par la theorie des developpees.
76. Supposons maintenant les points determines par
trois coordonnees polaires. Soient 0 l'angle formne par Ic
rayon vecteur r avec I'axe des z, et ~ l'angle forrme par sa
projection sur le plan XY avec l'axe des x. Toute courbe
sera determinee par deux equations entre r, t+ 0. Les equations qui determinent generalement x, y, z en fonctions de
r, 0 feront connaitre dx, dy, dz, au moyen de r, 0, 4,
dr, d., di; et, en les substituant dans /dx2 + dy2 -+ dz;,
on aura l'expression de la diffirentielle de l'arc en coordonnees polaires. Mais on peut y arriver directement de la
maniere suivante:
Si Von concoit une sphere decrite du pole comme centre
avec le rayon 7r, elle coupe le rayon r +- dr en un point qui,
joint a l'extremite de r par un arc de grand cercle, determine un triangle rectangle infinilnent petit, dont ds est
l'hypotenuse et dr un des cotes de l'angle droit. Pour determiner le troisieme cote, on menera par l'axe des z deux
plans contenant respectivement les deux rayons, et qui
comprendront entre eux l'angle di; puis, par l'une des
extremites de ce troisieme cote, on menera un plan parallele XY: le cote cherche sera l'hypotenuse d'un triangle