Éléments de calcul infinitésimal, par m. Duhamel.

82 9'LIVRE III.
che celle-ci, que l'on trouverait directement en prenant
x dy, est -.. done l'are de la courbe divise le rectangle xy dans le rapport constant de 77: 7n.
Si l'on considere au lieu de l'origine un point (a, 6: de
la courbe, les aires comprises entre les ordonnees ou les
abscisses de ce point et du premier seront les differences
de quantite ayant meme rapport -; elles auront donc
aussi ce meme rapport entre elles. D'ou l'on voit que, si
l'on projette un arc quelconque de la courbe sur l'axe des x
et sur l'axe des y, les aires comprises entre cet arc, les
lignes projetantes et l'axe perpendiculaire sont entre elles
comme les exposants m et in.
Hyperboles. - Considerons maintenant l'equation generale y'"x' =a des hyperboles qui ont pour asymptotes
les axes des coordonnees; on aura
7cn~ eL~~~ nz -I Yn
Sydx af f - x md- = + — - C.
' —+1
oi d'abord <, t supposons que aire commence a
Soit d'abord n < m~ et supposons que l'aire commence au
point dont les coordonnees sont., C; l'aire aura pour expression
_1 — _. -.-.
ma'11 \i n -n (.r, - a^)
- -— o- - ou -
m -7 n m - n
On voit alors que sa valeur est finie pour o =c o, quoiqu'elle
s'etende indefiniment dans le sens des y, puisque l'axe
des y est asymptote de la courbe: mais elle devient infinie
en meme temps que x.
Ainsi laire comptee i partir d'une ordonnee arbitraire,
et prolonefee ind6finiment vers l'une des deux asymptotes,