Théorie des résidus, par H. Laurent.

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est convergente et a pour valeur s,
a uO - a ut -... % — au,I +.-.
sera convergente et aura pour valeur as.
En effet,
V (a )) =a.
0 0
Done, si n augmente indefiniment, (aul) a une limite egale a aliii ui ou A as. Ce qu'il fallait demnontrer.
THuoORiME III. - Si la sdrie suivante est convergente et a
termes positifs,
S =- U -+ + 2 -+ * * * + l.
et si ao, a,,..., a,.. sont des nombres positifs moindres
que A, la serie
aotlo 4- al ut -u - a U -2 -. -. - ntu --...
sera convergente.
En effet, cette serie a ses termes respectivement plus
petits que ceux de la serie convergente
As = A u, 4- A u, +... - A u,~ —...,
qui est aussi a termes positifs. - II est aise de voir que
ce theoreme ne peut pas etre ge6eralise. Cependant Abel
a demontre que le theoreme precedent etait encore vrai
pour une serie quelconque, si les nombres ao, a1 a2,...
allaient constamment en decroissant; on a en effet dans
cette hypothese, en posant
(I) Un - U +-.-. UO = S,~,

(2)

ao uo -4- a, u, -+.. %- a, ln _ tn,,