Théorie des résidus, par H. Laurent.

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Si nous supposons que n devienne infini, le premier
membre de cette inegalite ou la valeur de la serie (2)
difrera de limf(n) ou de la valeur de la serie (i) de
plus de 7; done evidemment la serie (2) a une valeur
toute diffirente de la serie (I).
56. Jusqu'ici nous n'avons guere parle que de series a
termes reels: mais on fait un frequent usage en analyse
de series a termes imaginaires.
Une serie a termes imaginaires peut se mettre sous la
forme
) (Uo + v —) + (t, + V, 2I) + (2, + ('2 — I) +
+ ( tIG,, -+ V ) -I) ~....
Cette serie sera convergente si les deux series
(2) u0 Tu, - i - 2 + ~.. -, -t... *,
(3) 0 4- (' +- v2 -t -.. v, t..
formees des parties reelles et des coefficients de /-i de
tous ses termes, sont toutes deux convergentes.
En effet, soit s,, la somme des n premiers termes de la
serie (i), a, et z,, les sommes des n premiers termes des
series (2) et (3), on a
st ',- - r, /- I.
En passant aux limites et en designant par G et T les va.leurs des s6ries (2) et (3), on voit que
lim sn -=- G -C - i;
done la serie (i) est convergente. Ce qu'il fallait demontrer.
Remarque. - II est clair que si l'une des series (2) et
(3) eAt ete divergente, la serie (i) P'eft ete pareillement.