Théorie des résidus, par H. Laurent.

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Supposons actutellement la se'rie
(i) ~ s- -u 2 — -4,4
termes, quelconques.
Soien L
(3) o4aI +a4 — a
la se'ie de ses termies positifs, pris dans le MeMe ordre
que dans, la se~rie (i);
(4) b o+b~...k1-b
la se'ri'e de ses termes ne'gatifs 6galement pris dans
1'ordre oii uls se trouvent dans Ie'quation {i). Supposons
que la se'rie (i) conserve sa convergence quand on rend
sstermes positifs. Les series (3) et (4) sont convergentes (54), et si x et y de'signent les, valeuirs respectives
de ces series, on a
(G) s _x -Y.
Cela pose', changeons 1'ordre des ternies de la se'rie (i);
Ia se'rie de kes termes positifs sera enIcore la se'rie (3), 'a
1'ordre des termes pre's. Or, cette se'rie est 'a termes positifs; done elle conserve sa valeur. Me'knie observation pour
la se'rie des termes iie'gatifs, et pour la se'rie des valeurs
absolnes des termes de la se'rie (i). Ii en re'su.te, d'apre's Iec
the'ore'me I.V, que la valeur de la se'rie (i) tranisforme'e est
encore x - y; done la se~rie (i) nie change pas de valeur
quand on changel'Fordre de ses. terines. Ce qu'il fallait
de'niontrer.
Remarque. Toute cette demonstration repose sur
I egalite' (5);lors done que x ony ii'existeront pas., c'estai-dire quand la se'rie propose'e -ne jouira pas de la proprielte suivante:d'avoir lies series de ses termes positifs
et ne'gatifs convergentes, la demnonstration pr~ecdente
6.