Théorie des résidus, par H. Laurent.

a utie limite; donc la se-rie (2) est convergente. Ce qu'il
fallait dc'montrer.
54. THi-iORiME V. - Une sirie a' termes positifs et nega'tifs est convergente lorsque la sirie des valeurs absolues de
ses termnes est convergente.
En effet, conside'rons 'a part les series des termes posi-'
tifs et des termes negatifs pris dans I'ordre dans 1equel As,
se eucdent dans, la se'rie propos'e
Soi t
Ila serie des termes positifs, et
(2) b i~ +. bk~.4 -celle des termes nelgatifs pris chacun en valeur absolae.
Soit xi la sonmme des i premiers termes de la se'rie ~(i),
rk la somme des -k premiers ternies de la se'rie (2), et s,,
Ia somme des ni premiers termnes de la. se'ric prop~osce.
Nous pouvons toujours supposer que a,,, a1,,..., ai spient
les terrnes posififs de s,, et 1%,, b1,, b7, les termes ne'gatifs; alors on a, en appelant 4, Ia somme des 7i premiers
termes de la se'rie propose'e rendus positifs,
(3) SIZ Xi ~J'7ck
(4) SI- i '
Lequation (3) montre que s4, est pius grand que xi et que
yJk; donec. orir la limite de s,, qui -par, hypothe'se
existe, est supe'ieure 'a xi et "a yi.. Or xi etk sont des
nomubres croissant avec i et k, mais constanmmen inf6 -rieurs Li la limite de s4,; done As ont une, limite chacun;
done les series (i) et (2-) sont convergentes. Le'quation(4
montre qu e s, a une limiite -Cgale 'a la diff-6rence des
limites de xi et Yc'es t-a'-dire cjue la serie propose'e est
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