Théorie des résidus, par H. Laurent.

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ces sommes allant constamment en de'croissai-t et restant
superieures 'a S,,+ qui est fixe, ont une limite S. Or, on a
n42 - U.n1n2p-+I - Sn-~2p1I
Si nous supposons p tre's-graiid, le premier memb re a
pour limite S, car ut,+2p~ a pour limlie zero; donc S,+,+
a pour limite S e6galement; donc enfin, de quelque manie're que croisse 1'enticr in, S,, a u~ne limite; donc enfin
la se'ie propose~e est convergente.
Ce the'ore'me est fre'quemment emuploye' dans la the'orie
des suites infinijes.
53. Tfi~o-rE'ME IV. Quand une serie 46 termes positifs
a ses termnes respectivement plus petits que ceux d'une autre
sdrie 6galemertt 4 lermes posilifs, et de plus convergente, la
premiere s~rie est aussi convergente.
Soit, en effet,
(i) ~S It U0 +- ~U + U 2 +. + U, +.
Ia se'rie convergente donne'e (on represente ordinairement
une serie convergente en selparant. la somme d'Un certain
nombre de termes de sa valeur par Ie signe =,on supprime le mot lint), et
(2)P + I4 2-I
Ia se'rie propose'e. Soit SU. la somme des n pIremiers terines
de Ia se'rie (i), i,, la somme des n premiers termes de Ia
serie (2); comme v'o ic u, 0vi <liii.... I Vn < U,~,- on a
e~vi demment
t,, < s/,
donc 4 fortiori
t,, < S.
Or, n croissant, t,, c'roit, mais t. reste constamment inf6 -rieur a s; do'lc, en vertu d'un principe snr les limites, i,,