Théorie des résidus, par H. Laurent.

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11 arrive souvent que l'on rend une serie convergente
par un simple changeneent des signes de quelques-uns
de ses termes. Ainsi la serie
I I I I I
I - + — +.-4-...~2 3 4 n - n-I
est convergente. En general:
52. THtOREnME II. - Si dans une serie les termes sont, a
partir d'un certain terme, indefiniment decroissants et alternativement positifs et negatifs, cette serie est convergente.
En effet, considerons la serie
U1 -+ 1t2 ~. I- n tl-n+l -,+ t7+2 - -. Unp 4-j, T+p+- +-*..
dans laquelle les termes sont indefiniment ddcroissants et
alternativement positifs et negatifs a partir du termne u,.
Appelons en general S,n la somme des 7n premiers
termes de la serie. Si nous remarquons que les termes
vont constamment en diminuant, les quantites
Un - l;n4-l + f-2 -- /tn —39 ~ ~ ' 9 n-2p- '/t4-2p-j+seront toutes positives, et, par consequent,
(I) Sn-+t < S,^+3 < s * < * < S,+2+1. *;
les quantites - + n+i - -14.+2,... --,2+p-1i - ztn+2p ",
seront toutes negatives, et, par suite,
(2) Sn,2 > S4- > Sn+G > * * * > Snp >,....
Or
S. +-2p:- 7 +4-2p —I -- t n+-2p
Done S,,+p est plus grand que Sn+2p_-l et, par suite, a
cause de la suite d'inegalites (I), plus grand que S,,i. Ainsi
donc une somme quelconque comprise dans la suite S,+2,
Sn+,l Sn+6*..., est plus grande que S,,+,; il en resulte que