Théorie des résidus, par H. Laurent.

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d'oui, retranchanlt la deuxieme de la premiere,
lim u,, -4- U,i - +2 -+4-... -4 — tp+-_ = o,
ce qui conduit a ce resultat:
Pour qu'une serie soit convergente, il faut que la somme
des p termes qui suivent le ni'ne diminue indefiniment quand
n. augmente indefiniment, quel que soit du reste p.
La reciproque n'a pas encore ete demontree nettement.
Remarque III. - 11 existe des series dans lesquelles z,,
peut tendre vers zero sans que la serie a laquelle appartient
ce terme soit convergente, et, par exemple, considerons la
serie suivante, appelde serie harmonique:
I I I I I I
i -+- + +- -q -.-.-. +..
2 3 4 5 n n — I
I1 est facile de s'assurer que cette serie est divergente, car
si l'pn prend n termes apres le ni*"n, la sonme
I I I
-- - -- --
n - I n — 2 2/n
est plus grande que -repete 7n fois, c'est-a-dire que --
2// 2
Si done on groupe les termes de la serie harmonique ainsi
qu'il suit:
I /I I i I J I
I ----4- -- - -- - --- -4 — 4- 4-.
2 3 4 5 +6 7 8
( — ) -.-4- -- --- 7
/n +I n -4-2 2/z
on aura une infinite de groupes plus grands que -. Done
la valeur de la serie harmonique est la limite d'unh nombre
qui croit indefiniment, ce qui veut dire que cette serie est
divergente.