Théorie des résidus, par H. Laurent.

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Theore~mes sur la convergence.
51. TNOnoidEmF I. - Pour qu'une strie soil convergente,
ii faul que ses lermes diminuent ind~~finiment.
En effet, soit la se'rie
aU, +- It +- i2 ~4 U3 +. 4+ UI,
Soit en gene~ral s,, la somme des n pr~emiers termes, on a
Si la se'rie propos~e' doit eftre convergente et avoir pour
som~me s, on a par definition me'me de -la convergence
him s,~, S
urn s,, s;
done
urn S,1+4- - IiM SI' urnll (S11~ -SI,) 0
Done, en vertn de lX'quation (i),
urnim, - 0.
llemarque I. La dernonstration que nous venous
d'einployer, comme du reste tonics celles q~ue nous emploierons dans 1'exposition de ces principes, est bas6e sur
le calcul des limites; dile precise le sens que nous devons,
attribuer 'a la locution diminuer ind6finiment. Quand nious
disons que ii,, doit diminuer ind6finiment, inous devones
entendre par la' que cette quantite, r~eiele ou imaginaire,
doit avoir zero pour limite, rien de plus ainsi it,, pent
tendre comme on vent vers, zero; ii n'est nullenient ne&
cessaire, par exenmple, que Pon ait Un > lIn+i > Un,2 >...
Remarque II. -On auraiL 6galement pu kcrire lesequations suivantes:
urnsD,, - S
urn" s,, s;