Théorie des résidus, par H. Laurent.

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fJ(z, t) ait ete divisee par tous ses facteurs de la forme
(z -X)P, en sorte que l'equation (i) r'ait plus de racines
multiples pour toutes les valeurs de t. La formule (2) sera
alors remplacee par
f/ (( M t() )
Cette dquation montre que toute racine de l'dquation (i), contenue dans l'aireA, est une fonction synectique de t, pour toutes les valeurs de t pour lesquelles il
sera possible de tracer un contour contenant la seule
racine x de l'equation (i), c'est-a-dire a l'interieur de
tous les contours decrits dans l'aire B qui ne contiennent
pas de points t pour lesquels lI'quation (i) acquerrait
des racines multiples.
Ce theoreme important a ete etabli d'une maniere di-Iff
rente, et pour la premiere fois, par M. Puiseux (Journal
de Miathematiques de M. Liouville, t. XIV); avant lui,
Cauchy avait demontre (Exercices d'Analyse et de Physique
mathematique) que les racines de l'equation (i) etaient
des fbnctions continues de t.
M. Puiseux, dans le Memoire que nous venons de citer,
examine ce qui se passe dans le voisinage de ces points
pour lesquels l'equation (i) admet des racines egales.
Sans entrer dans autant de details que lui, nous ferons simplement observer que si au point l. l'eCquation (i) acquieit
une racine double ou triple..., c'est qu'en ce point deux
ou trois... racines differentes sont venues se rencontrer.
Quand le point t tournera autour du point t0, il pourra se
faire que la racine x reste monodrome, mais le plus
souvent il arrivera, comme on peut le constater sur
'dquation
z- t- O,
que toutes les racines, ou sculement quelques racines, se