Théorie des résidus, par H. Laurent.

( 73 )
tour A, v le nombre de ses infin is, r, s leur ordre de multiplicite; est le rapport de l'angle des tangentes au con-,
tour, en un point oi' y (z) s'annule, 'a quatre droits; -~est
le rapport analogue pour un point oi\ y (z) devient infini.
Discussion de l'6quation f (z, t) = o.
48. Supposons que I a foncti on f (z, t) reste synectique
par rapport 'a z et 'a t quand z vanie 'a l'inte'rieur dXun
contour A et t 'a 1inte'rieur d'un contour B; de'signons
par x une racine de I'6quation
(I) J(z, t) 0
resolue par rapport 'a z et con tenue dans 1'aire A: nous
aurons (46)
p f.'j (z~ t) Z
p de'signant 1'ordre de multiplicite6 de la racine x, et le
residu 6tant pris 'a 1int'rieur d'un contour contenant la
seule racine x de e'~quation. (i). Le contour en question
existera toujours, si les racines de 1'6quation (i) ne se
trouvent pas infiniment rapproche'es, c'est-a'-dire forniant
courbe continue; mais cette bypothe'se doit ehre rcjete',
car alors la fonction f (z, t) e~tant nulle dans une portion
finie de l'aire A le serait dans toute i'e6tendue de cette
aire.
L'equation (2-) inontre que si x conserve son ordre de
multiplicite' quand t vanie, cette racine sera une fonction
synecti quc de t (25); il en sera de merme decz-. x,et
fz, t) divis6 par (z - x)P sera encore une fonction..synectique de x et de t.
Daus cc qui va sulivre, nous supposerons que la fonction