Théorie des résidus, par H. Laurent.

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ou bien, remplacaut le logarithme par sa valeur et designant par o l'argument de c (z),
| ---- j DZ[Imod? (z) -+ - I 2/ 7- - -I ]dz
(5) -
( =E= -pm -- qn.
Or le module de la fonction synectique?(z), ainsi que
son logarithme reel, est une quantite qui revient au menme
point avec la meme valeur quand z suit le contour de
l'aire A; l'integrale
f Dlmod(p(z) dz
est done nulle, et si l'on designe par %o et w, les valeurs
que prend l'argument t quand le point z part du point z0
et y revient apres avoir fait le tour de l'aire A, la formule (5) devient
(6) I
( - ~ (c- ~-Zo) =Z P -w^^ *
On peut done neloncer le theoremne suivant:
Le nombre des zeros de -?(z), diminue du nonmbre de ses
infinis coinpris dans l'interieur d'un contour donne, est egal
a la quantite dont varie l'argument de? (z) diviseepar 27r
quand le point z se meut sur ce contour de manierye a en faire
un tour complet, le sens de la rotation etant celui dans lequel on compte les angles en coordonndes polaires.
Ce beau theoreme, cqui A lui seul suffirait pour immortaliser le nom de Cauchy, est ordinairement cnonce d'une
mnaniere un peu differente cdans le cas particulier ou 1l'on
considere une equation algebrique.
Soient (z) = X — Y /-I une fonction entiere de